Sifat sifat nilai mutlak dan beserta contohnya (2 contoh per sifat )

Kelas : X (1 SMA)
Materi : Persamaan dan Pertidaksamaan
Kata Kunci : nilai, mutlak, persamaan, pertidaksamaan, sifat-sifat, contoh

Pembahasan :
Nilai mutlak dari sebarang bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan sebagai 
|x| = x, bila x ≥ 0 dan |x| = -x, bila x < 0.

Nilai mutlak tersebut selalu bernilai positif atau nol.

Sifat-sifat nilai mutlak pada persamaan dan pertidaksamaan, yaitu :
1. |x| ≥ 0 untuk setiap bilangan real x;
2. |-x| = |x|, untuk setiap bilangan real x;
3. |x - y| = |y - x|, untuk setiap bilangan real x dan y;
4. |x| = √x²;
5. |x|² = x²;
6. |x . y| = |x| . |y|, untuk x, y ∈ R;
7. , untuk x, y ∈ R dan y ≠ 0;
8. |x - y|² = (x - y)² = x² - 2xy + y²;
9. |x + y|² = (x + y)² = x² + 2xy + y²;
10. Jika |x| < |y|, maka x² < y²;
11. |x - y| ≥ |x| - |y|;
12. |x + y| ≤ |x| + |y|;
13. |x| ≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k;
14. |x| < k ⇔ -k < x < k;
15. |x| ≥ k ⇔ x ≥ k V x ≤ -k;
16. |x| > k ⇔ x > k V x < -k;
17. |ax + b| < |mx + n| ⇔ ⇔(ax + b)² < (mx + n)²;
18. |x| > 0 dipenuhi oleh x ∈ R, kecuali x = 0;
19. |x| ≤ 0 dipenuhi oleh x = 0;
20. |x| < 0, tidak ada nilai x ∈ R yang memenuhi;
21. |x| ≥ k dan k < 0 dipenuhi oleh x ∈ R.

contoh 1 :
Tentukan penyelesaian dari persamaan |2x + 5| = 3!

jawab :
|2x + 5| = |-(2x + 5)| = 3, sehingga
2x + 5 = 3 V -(2x + 5) = 3
⇔ 2x = 3 - 5 V -2x - 5 = 3
⇔ 2x = -2 V -2x = 3 + 5
⇔ 2x = -2 V -2x = 8
⇔ x = -1 V x = -4
Jadi, penyelesaian dari |2x + 5| = 3 adalah -4 dan -1.

contoh 2 :
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |x - 2| < 3!

jawab :
|x - 2| < 3
⇔ √(x - 2)² < 3
⇔ (x - 2)² < 3²
⇔ (x - 2)² - 3² < 0
⇔ (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) < 0
⇔ (x + 1)(x - 5) < 0

Kita cek
     ____
     |        |
+++ - - - +++
    -1      5
⇔ -1 < x < 5
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari persamaan |3x - 7| = -1!

jawab :
|3x - 7| = -1
Karena nilai mutlak dari suatu bilangan selalu tidak negatif, maka penyelesaiannya tidak ada.

contoh 4 :
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |6x| ≥ 3!

jawab :
|6x| ≥ 3
⇔ 6x ≥ 3 V 6x ≤ -3
⇔ x ≥ [tex] \frac{3}{6} [/tex] V x ≤ [tex]\frac{-3}{6} [/tex]
⇔ x ≥ [tex] \frac{1}{2} [/tex] V x ≤ [tex] \frac{-1}{2} [/tex]

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |6x| ≥ 3 adalah x ≥ [tex] \frac{1}{2} [/tex] atau x ≤ [tex] \frac{-1}{2} [/tex].

Semangat!